The Monge–Ampère constraint: Matching of isometries, density and regularity, and elastic theories of shallow shells

The main analytical ingredients of the first part of this paper are two independent results: a theorem on approximation of W 2,2 solutions of the Monge-Ampère equation by smooth solutions, and a theorem on the matching (in other words, continuation) of second order isometries to exact isometric embeddings of 2d surface in R. In the second part, we rigorously derive the Γ-limit of 3-dimensional nonlinear elastic energy of a shallow shell of thickness h, where the depth of the shell scales like h and the applied forces scale like h, in the limit when h → 0. We offer a full analysis of the problem in the parameter range α ∈ (1/2, 1). We also complete the analysis in some specific cases for the full range α ∈ (0, 1), applying the results of the first part of the paper. Résumé. Les contraints de type Monge-Ampère : Prolongement des isometries, densité et regularité, et les Modèles variationnels pour les coques minces. On démontre d’abord deux résultats sur la densité des fonctions régulières dans l’ensemble des solutions de l’équation de Monge-Ampère et sur le prolongement des isometries infinitesimales de l’ordre 2 des surfaces bidimensionelles aux isometries exactes. On dérive ensuite un modèle nouveau pour les coques minces peu profondes d’épaisseur h et profondeur de l’ordre de h départant de la théorie trois-dimensionnelle d’élasticité nonlinéaire. Le modèle limite obtenu par la Γ-convergence consiste en minimisant une énergie biharmonique sous un contraint de type Monge-Ampère. Ce résultat s’applique au cas où les forces sont de l’order de h et 1/2 < α < 1. On peut l’étendre pour α ∈ (0, 1) dans certains cas spécifics, utilisant les résultats de la première partie de l’article.